Прежде чем закончить обсуждение одномерных волн, рассмотрим очень важный случай стоячих волн. До сих пор мы изучали периодические волны и импульсы, распространяющиеся с заданными скоростями. При определенных условиях можно так наложить одну волну на другую (эти волны должны распространяться в противоположных направлениях), что результирующая волна покажется неподвижной, хотя смещение ее будет при этом осциллировать (положительные горбы будут непрерывно превращаться в отрицательные впадины и наоборот). В частности, то место, где смещение отсутствует (это место называется узлом), остается неподвижным.
Существует несколько способов возбуждения стоячей волны. Для этого проще всего прикрепить один конец пружины, резиновой трубки или веревки к неподвижной опоре. Если возбудить бегущую волну с определенной длиной волны (ниже мы покажем, чему должна равняться длина волны), то суперпозиция исходной волны с отраженной волной, которая имеет смещение противоположной полярности, как раз и образует волновую картину, называемую стоячей волной.
Помимо того, что картина стоячей волны с виду довольно необычна, эта волна обладает тем свойством, что ее можно осуществить только в случае, когда длина волны и расстояние между опорами находятся в определенном отношении. Между опорами укладывается ровно половина длины волны, λ/2. Если обозначить расстояние между опорами через l, то можно написать, что:
1/2λ = l (17.9)
На втором снимке между опорами укладывается ровно одна длина волны, т. е.
λ=l. (17.10)
На третьем снимке укладывается полторы длины волны, а на четвертом — две. Общее условие, необходимое для возбуждения стоячей волны, записывается в виде
(целое число) X (длина волны) = 2l, (17.11)
nλ = 2l, n = 1, 2, 3 …
Это условие ограничивает допустимые значения длины волны:
λ = 2l/n (17.12)
иными словами, при заданном расстоянии между опорами возможны стоячие волны лишь со строго определенными длинами волн.
Повышенное внимание к стоячим волнам обусловлено отчасти тем, что они образуют неподвижные волновые картины. Так, скрипичная струна издает определенный звук, если на ней возбуждена неподвижная стоячая волна. Волна же, которая слишком быстро изменяет свою форму, производит целый набор звуков, которые невозможно отождествить с определенной нотой. Таким образом, звучание органной трубы или скрипичной струны (как и многие другие устойчивые явления природы, которые мы попытаемся описать с помощью волн) обязано стоячим волнам. Но при заданном расстоянии между опорами стоячие волны обладают определенными длинами волн, или частотами, следовательно, скрипичная струна или органная труба заданной длины издает только строго определенные ноты: ноту, соответствующую наибольшей длине волны, плюс ноты, соответствующие более коротким длинам волн (17.12) и называемые обертонами. Правильно сконструированная органная труба будет издавать не только основной тон, соответствующий максимальной длине волны, но и обертоны, обогащающие звучание. Отношение громкости обертонов и основного тона определяется особенностями конструкции. Волны, возбуждаемые в скрипичных струнах или органных трубах, существенно отличаются от тех волн, которые представлены на фотографии. Однако общие соотношения, справедливые для всех этих волн, одинаковы, если считать эти волны просто различными реализациями волновых функций.
Если бы мы попытались возбудить стоячую волну, используя длины волн, отличные от разрешенных (17.2), мы не получили бы неподвижных волновых картин. В частности, узлы, или точки, где смещение равно нулю, перемещались бы вперед и назад, образуя каждый-раз случайные волновые картины. Возбуждаемый при этом звук (длящийся достаточно долго, чтобы можно было определить его тон) не будет состоять из одного тона, скажем «ля» первой октавы, а будет смесью различных тонов, воспринимаемой нами как шум.
