Вывод формулы для сопряженных точек тонкой линзы

В предыдущем параграфе было показано, что положение изображения S1 однозначно определяется положением самой светящейся точки S относительно линзы. Поэтому точки S и S1 называют сопряженными точкам и линзы. Выведем формулу сопряженных точек линзы, позволяющую находить положение изображения Si с помощью вычислений.

Пусть на главной оптической оси собирающей линзы с оптическим центром О и фокусами Ф1 и Ф2 находится светящаяся точка S (рис. 30.12), изображение которой получилось в точке S1. Напомним, что КМ — фокальная плоскость линзы; a OA1 || SA. Обозначим расстояние от светящейся точки S до оптического центра О через d(OS=d), расстояние от изображения S1 до оптического центра О — через f (OS1=f) и главное фокусное расстояние — через F(OФ1=F), Из подобия треугольников SAS1 и OA1S1 (OA1||SA) имеем:

SS1/OS1 = AS1/A1S1, или (d+f)/f=AS1/A1S1.

Из подобия треугольников OAS1 и Ф1A1S1 можно написать:

OS1/Ф1S1 = AS1/A1S1 или f/(f—F)=AS1/A1S1.

Поскольку правые части найденных пропорций равны, получаем:

(d+f)/f=f/(f—F), откуда fF+dF=df.

После деления обеих частей этого равенства на dfF получим формулу сопряженных точек линзы:

1/d+1/f=l\1/F.              (30.3)

Так как справа стоит оптическая сила линзы, имеем:

1/d+1/f=D.     (30.4)

Из (30.3) видно, что от перемены местами значений d и f формула не изменяется. Это означает, что светящаяся точка и ее изображение в линзе переместимы, т. е. если светящуюся точку поместить туда, где было ее изображение, то изображение получится там, где была светящаяся точка. Именно поэтому точки S и S1 называют сопряженными.

Следует запомнить, что соотношения (30.3) и (30.4) применимы как к собирающим, так и к рассеивающим линзам. При расчетах числовые значения действительных величин всегда подставляются со знаком плюс, а мнимых — со знаком минус. Например, для рассеивающей линзы на место F или D ставится число со знаком минус. Отрицательный ответ, полученный в результате вычислений, показывает, что соответствующая ему величина мнимая.

Напомним, что светящаяся точка S тоже может быть мнимой. На рис. 30.13, α показаны мнимый источник света S и его действительное изображение в собирающей линзе S1, а на рис. 30.13, б – мнимый источник света S и его действительное изображение S1 в рассеивающей линзе.