Нечеткие множества и нечеткие выводы

Как и количественные измерения, лингвистические оценки могут быть неточными. Например, понятию «старик» могут соот­ветствовать люди разного возраста в зависимости от того, кто оп­ределяет это понятие, а также от цели определения.

Семнадцати­летние юноши могут называть стариками сорокалетних родите­лей, а люди пенсионного возраста — тех, кому за 80.

Пусть U — полное множество объектов некоторого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяется через функ­цию принадлежностиЭта функция отображает эле­ментымножества U на множество вещественных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа эле­ментов, то нечеткое множество /’можно предста­вить в следующем виде:

где знак + означает не сложение, а скорее объединение, а символ / показы­вает, что значениеотносится к элементуа не означает деление на

В случае если множество U является непрерывным, F можно записать как интефал:

Пусть U— множество людей в возрасте от 0 до 100 лет и пусть понятия «молодой», «среднего возраста» и «старый» представле­ны нечеткими множествами F1, F2 и F3 соответственно.

Принадлежность к нечеткому множеству F\, соответствую­щему понятию «молодой», составляет 1 для детей; двадцатилетний человек принадлежит множеству F\ со степенью 0.8, а сте­пень принадлежности тридцатилетнего равна 0.3. При записи функций принадлежности элементы нечеткого множества со значениямине включаются, поэтому функция принадлежности F\ содержит всего четыре терма, так как степень при­надлежности людей старше 30 лет к понятию «молодой» равна нулю. Аналогично построены функции принадлежности нечет­ких множеств Fin F5.

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими мно­жествами, как и над обычными, можно выполнять математичес­кие операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение мно­жества, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения:

Если нечеткое множество F\ соответствует лингвистической переменной «молодой», то какому понятию будет соответствовать дополнение этого множества? Нетрудно догадаться, что это будет понятие «немолодой», функция принадлежности которого пока­зана на рис. 3.10, а математическая запись имеет вид:

ц_п = 0.2/ 20 + 0.7/ 30 + 1/ 40 + 1/ 50 + 1/ 60 + + 1/ 70 + 1/ 80 + 1/ 90.

128

где операция v соответствует взятию максимума.

График этой функции приведен на рис. 3.11, а ее лингвисти­ческой интерпретацией является понятие «человек молодого или среднего возраста».

где символобозначает взятие минимума. Вычислим функцию принадлежности пересечения множеств F1 и F2:

Остальные члены этой функции, соответствующие значени­ям аргумента, кратным 10, равны нулю. Возможные лингвистические интерпретации: «уже не молодой, но еще не средний воз­раст», «одновременно молодой и средний возраст».

Симметрическая разность:

В рассматриваемом примере функция принадлежности нечеткого множества, соответствующаябудет интерпретироваться как «не молодой и не средний возраст» и иметь два минимума.

Нечеткие отношения. Элементы знаний связаны друг с дру­гом отношениями различного рода. Часто эти отношения заданы в виде текстовых описаний или правил, которые необходимо формализовать для реализации нечетких выводов.

Нечетким отношением R между полным множеством £/и дру­гим полным множеством К называется нечеткое подмножество прямого декартова произведенияопределяемое следующим образом:

Предположим, что между элементами знаний, представлен­ных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом:при этомОдин из способов построения нечеткого отношения между FwG, реализующий импликациюсостоит в следующем:

Пусть U и V — множества натуральных чисел от 1 до 4. Опре­делим понятия «малые числа» и «большие числа» с помощью не­четких множеств FnG соответственно:

130

Пусть задано правило: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — боль­шое». Построим соответствующее нечеткое отношение

Композиция нечетких отношений. Если знания представлены с помощью нечетких множеств и нечетких отношений, то для ре­ализации логических выводов в нечеткой среде необходимо иметь возможность применения совокупности правил. Посколь­ку знания в виде правил формализуются нечеткими отношения­ми, нужно уметь осуществлять их композицию, которая может выполняться с помощью операции максиминной свертки.

Пусть R — нечеткое отношение из области f/в область V, a S — нечеткое отношение из области Vb область W, тогда нечеткое от­ношение из области Ив область W определим как свертку следу­ющего вида:

Поясним применение максиминной свертки на примере.

Пусть R — нечеткое отношение между множествами UnV, ко­торые представляют собой совокупности натуральных чисел от 1 до 4. Семантика отношения R соответствует правилу: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие». Конкретное значение этого отно­шения возьмем из предыдущего примера. Определим отношение S из Vb W. С этой целью на (определим понятие «немалые чис­ла», которое будет дополнением введенного ранее нечеткого множества F, и обозначим его F\. Введем множество W= {1, 2, 3, 4} и определим на нем понятие «очень большие числа», которое обозначим Н. К этому понятию числа 1 и 2 имеют степень при­надлежности, равную 0, число 3 имеет значение принадлежности 0.5, и только 4 принадлежит со степенью, равной 1:

Отношение между полными множествами Vn W сформули­руем в виде правила: «ЕСЛИ v — немалые числа, ТО w — очень большие числа». Построим нечеткое отношение S, соответствую­щее этому правилу и являющееся подмножеством декартова про­изведения F\ и Н:При парных сравнениях элементов i-й строки и j-го столбца из них выбирается наименьший, затем из четырех минимальных эле­ментов выбирается максимум, который является результатом, и за­писывается в ячейку с координатами i,j. Результирующее нечеткое отношение показывает взаимосвязь областей U и W. Вообще над нечеткими отношениями можно выполнять операции свертки других видов (минимаксная, максимультипликативная и т. п.).

Нечеткие выводы. Рассмотрим традиционный дедуктивный вывод, основанный на применении правила вывода Modus Ponendo Ponens, в среде нечетких знаний. Вспомним его формули­ровку: «ЕСЛИ А — истина, И импликация. — истина, ТО В — истина», т. е. из факта А и правила «ЕСЛИ А, ТО B», можно выве­сти В. В среде нечетких знаний факт А и образец правила А* не обязательно всегда и везде совпадают, так как факты представ­лены нечеткими множествами, являющимися подмножествами полных знаний, а правила — нечеткими отношениями, которые есть подмножества декартовых произведений полных множеств. Поэтому если А и А* близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод В* в сфере их совпадения. Композиционное правило вывода в среде нечетких знаний базируется на операции максиминной свертки и имеет вид:— нечеткое

отношение, соответствующее импликации— приближенное заключение, выраженное нечетким множеством

Вычислим максиминную свертку нечетких отношений результат которой должен соответствовать последовательному применению двух правил: «ЕСЛИ и — малое число, ТО v — боль­шое»; «ЕСЛИ v — немалое число, ТО w — очень большое»:

Пусть F и G — нечеткие множества, соответствующие поняти­ям «малые числа» и «большие числа» и являющиеся подмножест­вами полных множеств U — V= {1, 2, 3, 4}. Функции принадлеж­ности множеств F и G имеют вид:

Пусть также задано правило F—>G: «ЕСЛИ и — малые числа, ТО v — большие», формализованное нечетким отношением R

В качестве исходной посылки для вывода задан факт: «и — число около 2», представленный нечетким множеством  с функцией принадлежности

Используя композиционное правило вывода, попробуем дать ответ на вопрос: «Что представляет собой v, если и — число около 2, и, если области U и V cвязаны отношением R»?

График функции принадлежности результата нечеткого выво­да показан на рис. 3.12. Для нее можно предложить следующую лингвистическую интерпретацию: «v — не очень большое число» или «v — до некоторой степени большое число».

Рис. 3.12. Функция принадлежности результата нечеткого вывода