Рассмотрим жидкость, находящуюся в равновесии. Выбираем систему произвольных координат с центром в точке O и зафиксируем произвольную точку A с координатами x, y, z (см. рис. 2.1).
Построим вокруг этой точки элементарный параллелепипед с гранями равными: dx, dy, dz. На выделенный объём действуют внешние силы, поэтому он будет находиться в равновесии, если сумма проекций всех действующих сил на каждую ось будет равна нулю. Определим все внешние силы — массовые и гидростатического давления — действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости. Обозначим проекции массовых сил, отнесенных к единице массы, на координатные оси: Аx, Ay, Az. Тогда проекции массовых сил на ось х.
Рис. 2.1. Элементарный параллелепипед, описанный вокруг точки А.
dFx = Axdm = Axρdxdydz, (2.1)
здесь dm — масса элементарного объёма жидкости
dm = ρdV = ρdxdydz. (2.2)
Аналогично, проекции массовых сил на оси y и z:
dFy = Aydm = Ayρdxdydz; (2.3)
dFz = Axdm = Azρdxdydz. (2.4)
Теперь рассмотрим силы гидростатического давления, действующие на параллельные грани параллелепипеда 1–2–3–4 и 5–6–7–8. Обозначим силы давления буквами px`и px«. В соответствии с первым свойством гидростатического давления силы давления действуют нормально к поверхностям 1–2–3–4 и 5–6–7–8 и являются силами сжимающими. Если в точке А гидростатическое давление р, то на расстоянии dx/2, на плоскостях 1–2–3–4 и 5–6–7–8 будут действовать давления:
(2.5)
. (2.6)
где Ϭp/Ϭx– градиент давления на расстояние dx/2 от точки А.
Тогда проекции сил действующие на площади dy*dz поверхностей 1–2–3–4 и 5–6–7–8:
, (2.7)
. (2.8)
Уравнение равновесия параллелепипеда относительно оси Х получим, приравняв к нулю сумму проекций на ось Х всех внешних сил:
. (2.9)
Подставив в уравнение (2.9) значения всех действующих сил получим:
. (2.10)
Раскроем скобки:
. (2.11)
Проведя сокращения и перегруппируя члены уравнения, получим:
. (2.12)
Аналогично получаем уравнения равновесия относительно осей у и z:
. (2.13)
(2.14)
Таким образом, скомпонована система уравнений (2.12, 2.13, 2.14) равновесия жидкости, которую впервые получил Л. Эйлер:
(2.15)
