Введение статистической механики

Статистическая механика возникла из классической кинетической теории и из рассмотрения проблем корпускулярной теории материи, предложенной еще Декартом и Ньютоном. Чтобы изучить следствия из законов Ньютона, примененных к системе многих частиц, избежав при этом решения их уравнений для каждой отдельной частицы, т. е. не рассматривая всех столкновений частицы и всех деталей ее траектории (в принципе такая процедура возможна, но она даст нам гораздо больше информации, чем, нам вообще нужно), мы попытаемся выделить из массы полученной информации (положения и импульсы всех частиц, образующих большую систему) некие средние характеристики, соответствующие тем величинам, которые действительно нас интересуют: в случае газа—его, объем, давление и температура, а в случае твердого тела — положение и скорость его центра масс. Основной вопрос статистической механики состоит в следующем: можно ли разумным образом вывести макроскопическое, или среднее, поведение системы многих частиц, не решая соответствующих уравнений движения для каждой частицы системы?

В исследованиях Бернулли и Клаузиуса, да и в нашем анализе газа, который считался состоящим из большого числа частиц, быстро движущихся внутри сосуда, содержалось одно предположение, которое никак нельзя назвать реалистичным. Мы допустили, что все частицы движутся с одинаковыми скоростями и не сталкиваются между собой. Сделав это допущение, мы по существу, ушли от решения уравнений движения, заранее задав форму решения. Совершенно очевидно, однако, что в результате столкновений частиц между собой, и со стенками сосуда их скорости будут как-то распределены: некоторые частицы будут двигаться быстрее, а другие медленнее; вряд ли все частицы будут обладать одинаковыми скоростями. Но до появления работы Максвелла считалось, что единственной альтернативой предположению о равенстве скоростей является строгое решение уравнений движения для всех частиц системы — т. е. именно то, от чего мы стремимся уйти.

В статье, опубликованной в 1860 г. («Пояснения к кинетической теории газов»), Максвелл отказался от предположения, что скорости частиц одинаковы, но допустил, что в газе существует некоторое распределение скоростей, не изменяющееся в состоянии равновесия. Иными словами, число, частиц, имеющих скорости между v₁ и v₂, остается постоянным.

«В целях создания основы для подобных исследований на строгих принципах механики я изложу законы движения неопределенного количества малых твердых и совершенно упругих, шаров, действующих друг на друга только во время столкновения».

Максвелл поставил себе целью вычислить такие величины, как средняя длина свободного пробега частицы воздуха (она равна примерно 5*10^-6 см) или среднее число столкновений одной частицы за 1 с при нормальных температуре и давлении (равное приблизительно 8*10⁸), а также многие другие величины, связанные с вязкостью и средней кинетической энергией газов, находящихся в тепловом равновесии. Но теперь мы понимаем, что главным результатом статьи была, формулировка основной идеи статистической механики. Если нам известно распределение скоростей частиц, образующих газ, мы можем вычислить передачу импульса при столкновениях частиц с поверхностью сосуда и получить различные интересующие нас величины. Но для нахождения распределения скоростей необходимо в принципе решить уравнения движения, исследовать, что происходит при каждом столкновении, и т. д. Раньше мы избегали этого, допуская равенство скоростей всех частиц. Максвелл же предположил, что столкновения частиц между собой и со стенками сосуда приводят к хаотизации их движений, в результате чего вероятность того, что частица имеет заданную скорость в одном направлении, оказывается такой же, как и для противоположного направления скорости; с помощью таких предположений Максвеллу удалось получить наиболее вероятное распределение скоростей (т. е. узнать, сколько частиц имеют скорости в интервале от v₁ до v₂), не решая уравнений движения для всех частиц системы.