Связь между массой и энергией. Уравнение Эйнштейна

Из рассмотренного в предыдущем параграфе материала можно сделать вывод, что при сообщении телу кинетической энергии его масса увеличивается. Получается, что кинетической энергии соответствует определенная масса. Справедливо ли это в отношении других видов энергии?

Оказывается, всякой энергии соответствует определенная масса. Так, при нагревании тела его масса несколько увеличивается. Излучение, испускаемое Солнцем, содержит энергию и поэтому имеет массу; Солнце и звезды при излучении теряют массу. Соотношение между массой и полной энергией выражает уравнение Эйнштейна:

E = mc² (36.6)

Из этого соотношения следует, что полная энергия тела пропорциональна его массе. У всех тел с потерей энергии уменьшается масса и, наоборот, с увеличением энергии увеличивается масса. Вообще всякое изменение энергии (частицы, тела, системы тел) в любой ее форме на ΔE сопровождается пропорциональным изменением массы на Δm в соответствии с формулой:

ΔE = c²Δm. (36.7)

Так, если тело теряет энергию ΔE излучая электромагнитные волны, то его масса уменьшается на Δm, а тела, поглощающие излучение, приобретают энергию, и их масса растет.

Установленный теорией относительности принцип пропорциональности массы и энергии сыграл огромную роль в науке, особенно в атомной и ядерной физике. Формула (36.7) была многократно проверена на опытах и получила блестящее подтверждение. В дальнейшем мы увидим, как эту формулу используют при расчетах баланса энергии в ядерных реакциях и в объяснении явления аннигиляции частиц, т. е. их превращения в фотоны.

Интересно подсчитать, пользуясь формулой (36.7), как со временем изменяется масса Солнца. Чтобы подсчитать энергию, которую излучает Солнце в мировое пространство за 1 с, надо вычислить площадь сферы, описанной вокруг Солнца радиусом 150 млн. км, равным расстоянию от Солнца до Земли. Умножив эту площадь на солнечную постоянную, т. е. на энергию излучения, проходящего через 1 м² этой поверхности за 1 с, мы получим, что Солнце ежесекундно излучает огромное количество энергии: 3,8*10²⁶ Дж. Изменение массы, соответствующее этому излучению, по формуле (36.7) равно 4*10⁹ кг. Таким образом, масса Солнца ежесекундно уменьшается на 4 000 000 т.

Найдем выражение для кинетической энергии тела. Напишем уравнение Эйнштейна (36.6) для случая, когда тело покоится в выбранной системе отсчета:

E₀ = m₀c². (36.8)

Это соотношение показывает, что покоящееся тело обладает как бы скрытой энергией, или энергией покоя, которая всегда остается связанной с этим телом, пока оно существует. Электроны и атомы представляют собой пример гигантских скоплений энергии. Если тело (или частица) по какой-либо причине перестает существовать, то одновременно освобождается, и его энергия E₀. Однако и эта энергия, и масса, переходят к другим телам или частицам, участвующим в этом явлении, а не исчезают бесследно.

Теперь представим, что тело пришло в движение со скоростью v. Тогда в соответствии с (36.4) масса тела увеличится, и полная энергия движущегося тела E = mc² будет больше его энергии в состоянии покоя E₀. Разность между полной энергией движущегося тела и его энергией покоя и будет равна кинетической энергии:

E_к = E – E₀ = c²m – c²m₀ = c²(m – m₀), или E_к = c²Δm.

При малых значениях v по сравнению с c это выражение для E_к переходит в классическое. Чтобы убедиться в этом, используем (36.4):

E_к = c²(m – m₀)= c²((m₀/√(1-v²/c²)) – m₀) = c²m₀[(1 – v²/c²)^-1/2 – 1].

Воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона:

(1 + α)ⁿ = 1 + nα + (n(n – 1)/1*2)α² + …

В нашем случае n = -1/2 и α = -v²/c² малая величина, поэтому третий член, содержащий α² и все остальные члены пренебрежимо малы, и мы можем ограничиться приближенной формулой:

(1 – v²/c²)^-1/2 ≈ 1 + (-1/2)(-v²/c²) = 1 + v²/2c²

Отсюда:

E_к = c²m₀[(1 + v²/2c²) – 1] = c²m₀v²/2c² = m₀v²/2,

что совпадает с известным выражением для кинетической энергии в классической механике.