Современная форма доказательства Карно

Карно проводил свои доказательства на языке материальной теории теплоты. Мы не уверены, что он понимал первое начало термодинамики, формулируя второе; когда он писал, он еще не был полностью согласен с тем, что теплота эквивалентна энергии. Карно использовал слова «feu», «chaleur» и «calorique», которые мы переводим как «огонь» или «пламя», «теплота» и….? Создается впечатление, что Карно почти сознательно вкладывал неопределенный смысл в понятия «chaleur» (теплота) и «calorique» (?); хотя в подстрочном примечании он утверждал, что эти понятия обозначают одно и то же, он использовал их по-разному. Например, он часто употреблял выражение «chute de calorique» (уменьшение…?), но никогда «chute de chaleur» (уменьшение теплоты). Если использовать при переводе слова «calorique» современный термин «энтропия», то доказательства Карно почти совпадут с современными. Возможно, однако, что мы пытаемся найти в его словах смысл, который он в них и не вкладывал.

В связи с этим интерпретировать доказательство Карно весьма трудно. Действительно ли оно было основано на материальной теории, теплоты, и если да, то не отменило ли падение этой теории выводы из его доказательства? Или он сознательно избегал пользоваться гипотезой, что теплота эквивалентна энергии, а поэтому его доказательство, в сущности, не зависит от первого начала? Рудольф Клаузиус полагал, что именно так оно и было. Он писал:

«Полностью отбрасывать теорию Карно было бы шагом, который в действительности очень трудно сделать, так как эта – теория была до некоторой степени очень хорошо подтверждена экспериментом. Тщательный анализ показывает, что новый метод не противоречит сути принципа Карно, — но только утверждению, что теплота не теряется, поскольку при совершении работы может легко случиться, что в то же время определенное количество теплоты будет поглощено, а другое количество теплоты перейдет от более нагретого тела к менее нагретому, и суммарное количество тепла будет находиться в определенном отношении к проделанной работе».

Затем Клаузиус заново проанализировал работу идеальной тепловой машины, эффективность которой превышает эффективность любой реальной машины, не предполагая сохранения теплорода, а используя только первое начало, что, возможно, избегал делать Карно. Приведем этот анализ, переделав его на современный лад.

Обозначим через Q₁ тепло, поступающее в машину (выделяющееся, например, при сжигании угля), через Q₂ тепло, выходящее из машины (уносимое воздухом, охлаждающим внешние стенки топки или цилиндров), и через W работу, совершаемую машиной (фиг. 367). Мы предполагаем, что машина работает циклично (например, цикл соответствует полному ходу поршня), так что в конце каждого цикла внутреннее состояние системы возвращается к исходному.

Поскольку теплота эквивалентна энергии, полная входящая энергия должна равняться поступающей теплоте Q₁. Полная же выходящая энергия равна сумме работы W и теплоты Q₂. Тогда на основании первого начала термодинамики (закона сохранения энергии) можно написать:

Чтобы получить максимальную работу из заданного количества теплоты Q₁, количество теряемой теплоты Q₂ должно равняться нулю. (Чтобы превратить всю-тепловую энергию в работу, не следует расходовать ее на нагревание окружающего воздуха или реки.) Как этого достичь? При каких условиях Q₂ обращается в нуль?

Можно показать, что в идеальной машине (Карно) отношение поступающей теплоты Q₁ к теряемой Q₂ есть функция только начальной и конечной температур:

Этот вывод не зависит от конкретных особенностей машины и, в частности, не зависит от рабочего вещества (пар, воздух и т. д.) Более того, при правильном выборе температурной шкалы соотношение (25.2) принимает поразительно простой вид:

Определим тогда такую шкалу, для которой соотношение (25.3) выполняется; эта шкала называется абсолютной, или шкалой Кельвина; она выражается через шкалу Цельсия простым смещением нуля (фиг. 368).

Если же мы все-таки желаем измерять температуру по шкале Цельсия, мы должны записывать (25.3) в виде:

Перепишем соотношение (25.3) следующим образом:

Теряемая теплота Q₂ равна величине полной входящей теплоты, умноженной на отношение конечной и начальной температур (по шкале Кельвина). Определение абсолютного нуля позволяет нам сделать следующий очевидный вывод. Если идеальная машина работает при температурах Т₁ и Т₂ = 0 (абсолютный нуль), то выходящая теплота Q₂ обращается в нуль, так как:

Поскольку Q₂ = 0. энергия не теряется и все тепло переходит в работу, что возможно только в том случае, когда конечная температура равна абсолютному нулю.

Это и есть ответ, представленный в современной форме, на вопрос, выдвинутый Карно. Максимальную работу, получаемую от источника тепла с температурой Т₁, среди машин, работающих при двух температурах: Т₁ (высокой) T₂ (низкой), может совершить идеальная машина Карно, и эта работа определяется из следующего выражения:

Любая реальная машина совершает меньшую работу.

Пример. Чему равен максимальный коэффициент полезного действия (к. п. д.) пароходного двигателя, котел которого находится при температуре 100° С (T₁), а конденсатор — при температуре морской воды 15 °С? Для идеальной машины:

Таким образом, двигатель парохода имеет к. п. д. меньше 23%.

Воздушный кондиционер можно рассматривать как (идеальную) машину Карно, работающую в обратном направлении (одна из особенностей машины Карно состоит в том, что она может работать как в прямом, так и в обратном направлениях — фиг. 369).

Можно так соединить две машины Карно — одну, работающую как двигатель, а другую как холодильник, — чтобы работа в итоге равнялась нулю (фиг. 370).

Представим идеальный кондиционер воздуха (машину Карно), расположенный в центре комнаты (фиг. 371). В этом случае кондиционер не будет охлаждать комнату до тех пор, пока мы не избавимся от теплоты Q₂ (обычно ее выводят через окно).

По этой же причине открытый холодильник не будет постоянно охлаждать перегретую кухню. Однако слегка ее он все-таки охладит. Почему?