Кулоновская сила, удерживающая электрон в атоме водорода вблизи протона, обладает максимальной возможной симметрией относительно поворотов вокруг точки в пространстве. Вид ее эквипотенциальных поверхностей (сфер) не изменяется (является инвариантом) при повороте системы на любой угол (фиг. 149).

Такая вращательная симметрия физически означает, что сила, действующая между электроном и протоном (как и гравитационная сила), зависит только от расстояния между этими частицами. Если вращать электрон вокруг протона по поверхности сферы, то сила их взаимодействия будет оставаться постоянной. Можно противопоставить этот случай другому гипотетическому случаю, когда величина силы не остается неизменной при вращении системы и соответствующие эквипотенциальные поверхности представляют собой не сферы, а произвольные поверхности, одна из которых изображена на фиг. 150.

Энергетические уровни одномерной квантовой системы, характеризуются одним числом n (называемым квантовым числом), которое определяет длину волны соответствующей волны де Бройля:

и энергию системы:

Уровни энергии двумерной квантовой системы, рассмотренной выше, определяются подобным же образом двумя квантовыми числами n_x и n_y, а трехмерной системы — тремя числами n_x, n_y и n_z. Конкретный выбор чисел соответствует тем величинам, которые в данном случае сохраняются, — компонентам импульса в x-, y- и z-направлениях.

Инвариантность силовых систем относительно вращений (системы обладают симметрией сферы) приводит как в классической, так и в квантовой теориях к сохранению углового момента системы. В случае планетарной системы этот вывод заключен во втором законе Кеплера.

Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает за равные времена равные площади; этот же закон справедлив и в случае электрона, вращающегося вокруг протона (фиг. 151). В таких силовых системах компоненты импульса в x-, y- и z-направлениях не являются постоянными движения (как в случае кубической системы, рассмотренной ранее). Поэтому соответствующие им квантовые числа непригодны для характеристики системы. (Эти квантовые числа, если их ввести, будут изменяться со временем.) Чтобы получить некоторые квантовые числа сферически симметричной системы, следует обратиться к ее угловым моментам.

Угловой момент частицы, заключенной в квадратном сосуде, не является константой движения (фиг. 152). При движении частицы вверх ее угловой момент относительно центра равен mvR (направлен против движения часовой стрелки), а при движении частицы вниз он равен — mvR (направлен по движению часовой стрелки). Другими словами, после отражения частицы от стенки ее угловой момент изменяет направление.

Если же утл частица заключена в круглом сосуде (вид которого не изменяется при поворотах), то ее угловой момент, равный mvR, направлен против движения часовой стрелки и не изменяется при отражении частицы от стенки сосуда (фиг. 153). Вместе с тем в квадратном сосуде в отличие от круглого сохраняются величины компонент импульса частицы в обоих направлениях.

Величине и направлению углового момента соответствуют так называемые азимутальные (или орбитальные) волны де Бройля и азимутальные квантовые числа. В рассматриваемом случае, как и в теории Бора и аналогично случаю частицы, заключенной в кубическом сосуде, в качестве возможных решений уравнения Шредингера могут выступать лишь определенные стоячие волны де Бройля (соответствующие величине и направлению углового момента). Эти волны характеризуются следующими квантовыми числами:

l = 0, 1, 2,…(это число соответствует величине углового момента), m_l = l, l—1, l—2,…, 0, —1, —2,…, —l (это число соответствует компоненте углового момента вдоль определенного направления в пространстве и называется магнитным квантовым числом).

Первое число связано с угловым моментом системы по формуле (табл. 2.):

Второе число m_l пробегает все целые значения от +l до —l и при заданном l имеет 2l+1 значений (табл. 3).

Квантовое число m_l соответствует компоненте углового момента вдоль некоторого направления в пространстве, например, направления приложенного магнитного поля:

Таким образом, как величина, так и направление углового момента (как и в случае стоячих волн де Бройля в сосуде) принимают в отличие от классического вектора углового момента лишь дискретные значения, определяемые целыми числами (фиг. 154). Интересно, понравилось бы это Пифагору?