Первый закон Кирхгофа в матричной форме

Для получения формальной записи первого закона Кирхгофа воспользуемся матрицей инценденций (соединений). Составим эту матрицу.

Пусть задан граф ( рис. 1.10), который содержит 6 ветвей и 4 узла. Матрицу соединений назовем матрицей А. В этой матрице число строк равно числу узлов, а число столбцов равно числу ветвей:

Сформулируем правила заполнения этой матрицы. В месте пересечения строки и столбца ставится +1, если ветвь принадлежит узлу, и ток входит в узел. Если ток выходит из узла, то ставится –1. Если ветвь не принадлежит узлу, то ставится 0.

Как следует из законов Кирхгофа, четвертая строка матрицы А новой информации не несет, поэтому ее можно исключить.

В результате получим редуцированную матрицу Аr (с вычеркнутой строкой):

Введем матрицу-столбец токов ветвей (разрядность равна количеству ветвей):

I = (I1 I2 I3 I4 I5 I6)^T

Если ввести нуль-матрицу размером, равным числу узлов без одного:

то первый закон Кирхгофа может быть записан в матричной форме:

Ar * I = O, (1.4)

или в раскрытом виде:

После выполнения действий с матрицами (1.4) получим уравнения, которые соответствуют классическому представлению первого закона Кирхгофа:

Откуда видно, что формула (1.4) составлена правильно.