Отыскать сумму. Пример 4.17

Отыскать сумму X₁ = 0,87654∙10¹, а Х₂ = 0,94567∙10², если для записи мантиссы отводится 5 разрядов.

Согласно методу ∆k = 1 и k₁ < k₂. Как следует, k = k₂ = 2, а мантисса числа X₁ должна быть сдвинута на 1 разряд на право (при всем этом из-за ограниченности разрядно сетки пропадет цифра 4). Новенькая мантисса выходит суммированием М = 0,94567 + 0,08765 = 1,03332; так как она выходит за допустимый интервал представления мантисс, нужно его восстановить М’ = 0,10333 (при всем этом пропадает цифра 2 в младшем разряде); k’ = k + 1 = 3. Совсем получаем: X = — 0,10333∙10³. Четкий итог суммирования оказался бы 103,3324.

Следствием существования погрешности сложения (и, в равной мере, вычитания) кодов вещественных чисел оказывается то, что такое суммирование не обладает ассоциативностью, т.е. в общем случае

Вычитание нормализованных чисел, как и чисел целых, не является самостоятельной операцией и сводится к сложению с дополнительным кодом числа.

Умножение нормализованных чисел Х₁ÄХ₂ делается в согласовании с правилами: если как и раньше X₁ = M₁ ∙ р^k1 и Х₂ = М₂ ∙ p^k2, то, разумеется, мантисса произведения М = М₁ ∙ M₂, а порядок k = k₁ + k₂; по мере надобности приобретенное число нормализуется.

Операция деления, проводимая как над целыми, так и вещественными числами, приводит в общем случае к возникновению вещественного числа, потому целые числа за ранее преобразуются в вещественный тип, т.е. переводятся в нормализованную форму. Разумеется, при делении Х₁ÆХ₂ мантисса личного М = М₁/М₂, а порядок k = k₁ — k₂. При всем этом конкретно операция деления сводится к сдвигу делителя на право и поочередному вычитанию его из делителя (т.е. сложения с дополнительным кодом вычитаемого). Как и в прошлых операциях, итог деления по мере надобности нормализуется.

В операциях умножения нормализованных чисел в компьютере вероятны ситуации, когда не будут в точности производиться сочетательный и распределительный законы, т.е.

Время выполнения операций с кодами вещественных чисел в форме с плавающей запятой еще больше, ежели с числами целыми либо с фиксированной запятой. По этой причине для ускорения обработки на компьютерах IBM с микропроцессорами Intel 80286 и 80386 ставились так именуемые «математические сопроцессоры»; в современных компьютерах команды (поточнее, микропрограммы, так как они содержат последовательность действий) обработки вещественных чисел включены в список команд центрального микропроцессора.

Заканчивая рассмотрение порядка обработки чисел в компьютере, хотелось бы сделать ряд общих замечаний:

1. В компьютерах арифметические устройства делают деяния не с самими двоичными числами по правилам двоичной математики, а с их двоичными кодами (представлениями) по правилам математики двоичных кодов.

2. Предпосылкой различий правил математики двоичных кодов от правил обыкновенной математики является ограниченность разрядной сетки, используемой для записи чисел в компьютере. По этой же причине отличаются понятия «ноль» и «машинный ноль», «бесконечность» — «максимальное число», а также становится вероятной ситуация переполнения, что просит ее неизменного отслеживания.

3. Применение при вычислениях формы представления чисел с плавающей запятой обеспечивает единообразие при их записи и обработке, и, что принципиально, в итоге автоматического масштабирования числа на каждом шаге его обработки сокращается погрешность вычислений.

4. Различие правил обработки целых и нормализованных чисел приводит к необходимости четкого описания типов переменных перед их внедрением в программках. 2-ая причина описания типов состоит в оптимизации расходования памяти компьютера, так как числа различных типов требуют для хранения разных ресурсов памяти.