Одномерные волны на границах раздела

Исследуем теперь прохождение волн через области, где на них, как можно выразиться, «действуют некие силы». Для этого вновь обратимся к волне, распространяющейся вдоль пружины, и понаблюдаем, что происходит с ней на границе. Мы можем утверждать, что некоторые свойства таких волн типичны и для других волновых функций.

Рассмотрим сначала движение волнового импульса, приближающегося к непроницаемой границе. Пусть, например, пружина прикреплена к стенке, и импульс движется к закрепленному концу. Импульс, движущийся слева направо к закрепленному концу пружины. Когда импульс достигает конца, наблюдается удивительное явление (шестой кадр) — пружина кажется ровной и неподвижной, хотя по размытому изображению вблизи конца можно заключить, что она слегка движется. Затем появляется импульс, идущий обратно, т. е. происходит отражение от стенки. Но странное дело: то, что было горбом, после отражения выглядит как впадина! Это одно из следствий волнового уравнения для случая непроницаемой границы и одна из характерных особенностей волновых функций. Подобно тому, как вывод о равенстве начальной и конечной скоростей частицы вытекает из законов движения Ньютона для случая упругого соударения частицы с непроницаемой стенкой, точно так же и в случае отражения волн их свойства следуют из волнового уравнения и специфических особенностей границы.

Рассмотрим, далее, движение импульса, распространяющегося из легкой пружины в более тяжелую, — это частный случай движения волн при наличии границы раздела двух однородных сред. Мы ожидаем, что сила (или то, что соответствует силе в случае волн) действует лишь непосредственно на границе двух сред, в данном случае на границе разных пружин. (До сих пор мы изучали движение волн в однородных средах, т. е. в известном смысле их движение по инерции. Теперь мы исследуем частные случаи силовых систем: отражение волн, распространяющихся в однородной среде, от жесткой границы и прохождение их из одной однородной среды в другую. В обоих этих случаях силы действуют только на границе.)

От жесткой границы волна отражается, а ее смещение изменяет направление (положительный импульс превращается после отражения в отрицательный). При наблюдении движения импульса, распространяющегося из легкой пружины в более тяжелую, мы обнаруживаем явление, которое в дальнейшем будет иметь важное значение. Допустим сначала, что более тяжелая пружина обладает бесконечно большим весом. Тогда такая пружина ничем не отличается от жесткой стенки, и волна будет отражаться от нее, как от стенки. Если же вес тяжелой пружины приближается к весу легкой, вся пружина становится в этом пределе непрерывной и импульс будет распространяться в ней так же, как в однородной среде. Характер поведения волны на границе раздела, когда более тяжелая пружина не обладает бесконечно большим весом и не совпадает в точности с легкой пружиной, должен быть промежуточным между этими двумя предельными случаями. Импульс, распространяющийся справа налево из легкой пружины в более тяжелую. Когда импульс доходит до тяжелой пружины, одна его часть продолжает двигаться дальше вдоль тяжелой пружины, а другая отражается. В отраженной части импульса амплитуда изменяет свою полярность, в то время как другая часть, прошедшая в более тяжелую пружину, сохраняет ее, при этом форма импульса остается прежней. Импульс, распространяющийся из тяжелой пружины в более легкую, тоже расщепляется. Однако в этом случае полярность отраженной части импульса не изменяется. В способности импульса расщепляться на части при пересечении границы раздела двух сред заключается удивительное свойство волн, которое отличает волновые импульсы от частиц. Как мы увидим позже, именно с этим свойством связаны наиболее сложные загадки, возникающие при интерпретации квантовой механики.