Температура и работа

Из точного определения температуры:

видно, что температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа. Этот вывод согласуется со следующим наблюдением: когда над газом, заключенным в теплоизолированном сосуде, производится работа, увеличение температуры пропорционально величине совершенной работы. Поскольку мы считаем, что работа, совершенная над системой, фактически производится над микроскопическими частицами, образующими газ, эта работа может перейти лишь в кинетическую энергию микроскопических частиц. В результате прирост кинетической энергии частиц будет равен работе, совершенной над газом. Но тогда рост температуры газа, пропорциональный изменению кинетической энергии, будет пропорционален работе, совершенной над газом.

Скорость молекул в газе

Чему равна скорость молекул газа, если задана его температура? Ответ на этот вопрос представляет несомненный интерес, так как мы будем иметь тогда представление о величине скорости беспорядочного движения, которое, как мы предположили, характеризует поведение молекул, составляющих газ. Из уравнения (26.31) имеем:

где

k_Б = 1,38*10^-16 эрг/К. (26.33)

Масса молекулы типичного газа, например, водорода (Н₂):

m = 3,4*10^-14 г. (26.34)

При какой-то температуре, скажем температуре замерзания воды (273 К), получим:

Мы видим, что молекулы должны двигаться с очень большими скоростями, порядка 6500 км/ч.

Скорости движения молекул газа чрезвычайно велики. Если молекула газа движется вертикально вверх и не сталкивается при этом с другими молекулами, то она достигнет высоты примерно 5 км, прежде чем сила тяжести остановит ее. (Мы можем рассчитать эту высоту, приравняв среднюю кинетическую энергию молекулы газа, вычисленную выше, ее потенциальной энергии на высоте 5 км.) Поскольку молекула проходит такое большое расстояние до остановки ее силой тяжести, она практически не замедлится при движении от пола до потолка комнаты. В результате атомы проводят практически столько же времени у потолка комнаты или у крышки сосуда, как и у пола, в результате чего плотность газа постоянна в сосудах обычных размеров, несмотря на то, что молекулы обладают определенным весом. Если же мы будем взбираться на вершину горы, то заметим, что плотность воздуха становится с высотой заметно меньше.

Согласно современным представлениям, атомы газа в течение секунды сталкиваются друг с другом очень много раз, так что от столкновения к столкновению они проходят не 5 км, а всего лишь около 1/1000 см. Однако полученный нами выше качественный результат все равно сохраняет силу, поскольку при столкновении атом передает свой импульс другим атомам, в результате чего атомы в среднем равномерно заполняют комнату. Среднее число столкновений атома воздуха, оцененное по формулам и согласующееся с измерениями, порядка 106 столкновений на каждом сантиметре пути, или порядка 5*10⁹ в секунду. Поэтому путь атома скорее напоминает зигзагообразную, чем прямую или гладкую кривую линию. Это объясняет, почему между моментом, когда в одном конце комнаты разрезали луковицу, и моментом, когда запах лука обнаружили в другом конце, проходит довольно длительное время, несмотря на то, что молекулы, переносящие запах, движутся с очень большими скоростями. Так отвергается одно из наиболее старых возражений против кинетической теории газов.

Скорость и масса

Рассмотрим два газа при одинаковой температуре, молекулы, одного из которых тяжелее молекул другого газа. Как различаются средние скорости молекул этих двух газов? Если оба газа находятся при одинаковой температуре, средняя кинетическая энергия молекул одного газа равна, согласно (26.31), средней кинетической энергии молекул другого газа:

Отсюда видно, что если m₂ больше m₁, то (v_ср)₂ должна быть меньше, чем (v_ср)₁. Иными словами, молекулы более тяжелого газа движутся в среднем медленней, чем молекулы легкого газа, если оба газа имеют одинаковую температуру.

Можно ли это проверить? Предположим, что газ диффундирует через небольшое отверстие из одной камеры в другую; тогда скорость движения молекул газа будет определять скорость его диффузии, т. е. скорость просачивания молекул через отверстие. Оказывается, что более тяжелый газ при заданной температуре диффундирует через отверстие медленнее, чем легкий газ, что подтверждает полученный нами вывод. Такие эксперименты были проведены, и их количественные результаты оказались в согласии с выражениями, которые мы написали выше.

Если два газа, молекулы которых имеют различные массы, были захвачены пористыми телами, то более легкий газ покинет пористое тело быстрее, чем тяжелый. Этот результат широко использовался при разделении изотопов урана (урана-238 и урана-235) для производства первой атомной бомбы. Массы атомов этих изотопов различаются на очень маленькую величину. Поэтому пришлось создавать огромные пористые камеры, площадь которых составляла многие гектары. В дедине реки Теннесси был воздвигнут гигантский завод, где два урановых газа непрерывно циркулировали, через пористые камеры, в которых более легкий газ диффундировал быстрее, в результате чего газовая смесь постоянно обогащалась легким изотопом урана.

Определение шкалы абсолютных температур

Определив температуру как:

Мы получаем возможность ввести естественный нуль Температурной шкалы в рамках микроскопической теории. Когда средняя кинетическая энергия молекул газа обращается в нуль, т. е. когда эти молекулы полностью останавливаются и прекращается всякое хаотическое движение молекул, температура газа, согласно нашему определению, равна абсолютному нулю¹⁾.

1) Этот вывод, без сомнения, порождает уверенность, свойственную современному «здравому смыслу», что при абсолютном нуле всякое движение прекращается. Если изучать мир с помощью квантовой-физики (а мы будем этим заниматься позже), то окажется, что движение системы частиц в этой теории, существенно отличается, от движения системы в ньютоновской кинетической теории (рассмотренной выше), а определение температуры будет иным. При высоких температурах классическое и квантовое определений совпадают. При низких же температурах они существенно различаются. С точки зрения квантовой физики абсолютный нуль соответствует не полному отсутствию движения (это невозможно для квантовых систем), а наинизшему (основному) состоянию системы. Для классической, системы основное состояние определяется отсутствием движения, как было получено выше.