Метод зеркальных изображений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных изображений.

Это искусственный прием расчета, в котором кроме заданных зарядов вводят еще дополнительные заряды, которые помещают там, где находятся зеркальные (в геометрическом смысле) отображения заданных зарядов.

Рассмотрим поле прямолинейного заряженного провода (линейная плотность заряда +t), расположенного на расстоянии h от плоской поверхности проводящей среды (рис. 1.33).

Устраним мысленно проводящую среду и заменим ее проводом, являющемся зеркальным изображением реального провода в поверхности раздела и имеющим заряд реального провода, но противоположного знака (рис. 1.33). Действительный провод и его зеркальное изображение составляют двухпроводную линию. Поле от такой системы заряженных проводников (рассмотрено в примере 9 раздела 1.14) в области над проводящей средой останется таким же, как и в действительных условиях.

В этом и заключается метод зеркальных изображений.

Этот метод применим и при любом числе проводов, протянутых параллельно друг другу и параллельно плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду. Каждый провод должен быть зеркально отображен в поверхности проводящей среды с изменением знака заряда, после чего проводящая среда может быть мысленно удалена и рассмотрено поле совокупности действительных проводов и их зеркальных изображений.

Рассмотрим теперь поле прямолинейного заряженного провода (линейная плотность заряда t₁), расположенного на расстоянии h от плоской границы раздела двух диэлектриков с разными диэлектрическими проницаемостями (рис. 1.34, а).

Расчет поля в любой точке верхнего полупространства производят от двух заряженных проводников: заданного с линейной плотностью t₁ и дополнительного с линейной плотностью t₂. Причем не только верхнее, но нижнее полупространство заполнено (в расчетном смысле) диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₁, а дополнительный (фиктивный) проводник является зеркальным отображением действительного (в геометрическом смысле) проводника (рис. 1.34, б).

Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от дополнительного провода, имеющего линейную плотность заряда t₃ и расположенного в той же точке, где находился действительный проводник. В этом случае, не только нижнее, но и верхнее полупространство заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₃ (рис. 1.34, в).

Линейная плотность t₂ и t₃ зарядов дополнительных проводников определяется с помощью следующих соотношений:

Отметим, что если поле создается не заряженными проводами, а точечными зарядами, то вся методика годится и для точечных зарядов. Но под t, в этом случае, следует понимать величину точечного заряда.