Ср. Июн 5th, 2024

Геометрия, подобно латыни, с течением веков стала синонимом испытания юного поколения и свидетельством бесчеловечного отношения к нему со стороны взрослых. Много утекло воды с тех пор, как Платон начертал на дверях своей Академии; «Да не войдет никто, не знающий геометрии», или Эдна Винсент Миллей написал: «Только Евклид видел красоту в пустоте». Что же содержится в элементах Евклида, если они стали образцом для науки Галилея и Ньютона, и философии Декарта, почему они, являя собой драгоценный пример математической и физической систем, остаются загадкой для школьников, у которых упоминание имени Евклида вызывает лишь болезненное ощущение?

Во времена, когда мир был полон неопределенности, геометрическое доказательство считалось примером истинного доказательства. Диспуты на рыночной площади возникают из ничего и кончаются ничем. В политических спорах победа достается то одной, то другой стороне, порхая между ними подобно бабочке, не находящей безопасного места для отдыха. Но в геометрии стоит только признать постулаты, как из них с неотвратимостью следует вся теория. Говоря словами учебника геометрии, «каждое доказательство состоит из ряда утверждений, каждое из которых имеет строгое обоснование». Казалось, что с помощью такого метода можно достичь определенности.

Конечно, такого рода определенность содержалась не только в геометрии, но и, например, в силлогизмах Аристотеля. Не вызывает сомнений следующее заключение: так как все люди смертны, а Сократ — человек, следовательно, Сократ тоже смертен. Однако, хотя силлогизм и содержит определенность, в нем нет ничего неожиданного. Если допустить правильность двух первых утверждений, то третье последует само по себе. Если же принять пять постулатов Евклида, начинающихся словами: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и заканчивающихся знаменитым постулатом о параллельных прямых, то мы получим такие неочевидные (нетривиальные) следствия, что сумма углов треугольника равна 180° или что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Очевидно, именно этот элемент неожиданности р составляет-наиболее привлекательную черту геометрии Евклида. Создается впечатление, что определенность может быть достигнута здесь нетривиальным образом.

Отмечая заслуги Евклида, стоит напомнить, что в большей части соотношения в его геометрии были впервые получены не им самим, а его предшественниками, вероятно, во время измерений земельных участков. Поэтому «Элементы» Евклида следует считать не началом, а кульминацией чуть ли не тысячелетних исследований по геометрии. Другие до него доказали отдельные теоремы или целые цепочки из них. Задолго до Евклида было известно, что сумма углов треугольника равна 180°. И, конечно, Пифагор, живший по крайней мере за 300 лет до Евклида, знал, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы.

Для завершения геометрии требовалось только показать (это и удалось Евклиду), что все эти известные и разнообразные соотношения вытекают как следствия определенных и очень простых предположений. Подумав, можно заключить, что в таком случае эти предположения должны содержать в себе всю структуру геометрии в целом. Евклид как раз и раскрыл эту структуру, т. е. внутреннюю связь между отдельными теоремами и между постулатами и всеми теоремами.

Он начинает с 23 определений, в которых пытается описать изучаемые им объекты. Эта попытка не совсем успешная. Например, Евклид говорит (определение 1): «Точка — это то, что не имеет частей», или (определение 2): «Линия — это длина без ширины». А в четвертом определении, смысл которого не удалось понять до сих пор, он утверждает: «Прямая — это линия, которая лежит равномерно со своими точками» 15. И так далее до определения 23: «Параллельные линии — это прямые, лежащие в одной плоскости, которые, будучи продолжены в обе стороны до бесконечности, никогда не пересекаются». Если все эти определения не покажутся читателю до конца ясными, то в этом винить его нельзя, так как сами математики потратили два тысячелетия для выяснения их смысла. Далее Евклид просит всех согласиться с пятью постулатами, говоря: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и т. д. Затем следуют 5 аксиом: (1) предметы, равные одному и тому же предмету, равны между собой; (2) если равные количества добавить к равным, то целые будут равны; и так далее до (5) целое больше своей части. Эти аксиомы, или общепринятые положения, отличаются от постулатов тем, что они представляют собой соглашение о том, как понимать используемый язык (такие слова, как «равно», «добавить», «вычесть» и т. д.). Аксиомы в отличие от постулатов, относящихся только к геометрии Евклида, распространяются, очевидно, на любые системы (это отличие впервые отметил Аристотель). Так как Евклид просит согласиться с его постулатами, то, вероятно, можно от них отказаться и заменить их другими.

Вся система возводится на основании этих пра1 ил и аксиом, или, как говорится в учебнике геометрии, «каждое положение базируется на аксиоме или постулате, или на ранее доказанной теореме». Сумма углов треугольника равна 180°, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы; эти и все остальные теоремы геометрии вытекают с определенностью, не вызывающей ни малейшего сомнения. Именно эта определенность, свойственная геометрии, возбудила надежды философов и других ученых достигнуть во всем такой же определенности. Например, Декарт писал:

«Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности».

Но хотя сама структура геометрии кажется ясной, в отношении смысла ее определений и постулатов высказывались самые различные мнения. Являются ли они, как сказал бы Декарт, чем-то таким, «что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению»? Или, как выразился бы Аристотель, они являются «чем-то, что вразумительно и внутренне известно»? Или они, как заявлял Иммануил Кант, суть «положения, повсеместно признанные достоверными… и тем не менее независимые от опыта»? Если же нет, то спрашивается: в каким смысле мы должны принимать их или отказываться от них?

От content

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Ads Blocker Image Powered by Code Help Pro

Обнаружен блокировщик рекламы! Пожалуйста, обратите внимание на эту информацию.

We\'ve detected that you are using AdBlock or some other adblocking software which is preventing the page from fully loading.

У нас нет баннеров, флэшей, анимации, отвратительных звуков или всплывающих объявлений. Мы не реализовываем эти типы надоедливых объявлений! Нам нужны деньги для обслуживания сайта, и почти все они приходят от нашей интернет-рекламы.

Пожалуйста, добавьте tehnar.info к вашему белому списку блокирования объявлений или отключите программное обеспечение, блокирующее рекламу.

Powered By
100% Free SEO Tools - Tool Kits PRO