Электромагнитные колебания и волны

Пример

Колебательный контур состоит из конденсатора с емкостью 48 мкФ и катушки с индуктивностью 24 МГн и активным со­противлением 20 Ом. Определить частоту свободных электромагнит­ных колебаний в этом контуре. Насколько изменится частота элек­тромагнитных колебаний в контуре, если пренебречь активным со­противлением катушки?

Дано: С=4,8*10^-5 Ф — электроемкость конденсатора, L=2,4*10^-2 Гн — индуктивность катушки, R=20 Ом — активное сопротивление катушки.

Найти: v₁— частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре; ∆v=(v₁—v₂) — насколько изменится частота колебаний в контуре, если его активное сопротивление будет равно нулю.

Решение. Частоту колебаний можно найти из соотношения:

Находим частоту v₁:Если сопротивление R равно нулю, то формула для периода колебаний примет вид:

Отсюда найдем период колебаний при R=0 и частоту колебаний v₂, а затем ∆v.

Определяем частоту v₂:

Вычисляем изменение частоты:

Ответ. Частота свободных колебаний в контуре 132 Гц; в идеальном случае, когда R=0, частота собственных колебаний в кон­туре на 16 Гц больше.

Пример

Определить длину электромагнитной волны в ваку­уме, на которую настроен колебательный контур, если максималь­ный заряд конденсатора 2,0*10^-8 Кл, а максимальный ток в контуре 1,0 А. Какова емкость конденсатора, если индуктивность контура 2,0*10^-7 Гн? Какова энергия электрического поля конденсатора в тот момент, когда энергия магнитного поля составляет 3/4 от ее максимального значения? Определить напряжение на конденсаторе в этот момент. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: q_м=2,0*10^-8 Кл — максимальный заряд конденсатора, I_м=1,0 А — максимальный ток в контуре, L=2,0*10^-7 Гн — индуктивность контура, R=0 — активное сопротивление контура, с =3*10⁸ м/с — скорость распространения электромагнитных волн и вакууме.

Найти: λ — длину электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур; С — емкость конденсатора; W_эл — энергию электрического поля в тот момент, когда энергия магнит­ного поля составляет 3/4 от ее максимального значения; U— на­пряжение на конденсаторе в тот же момент времени.

Решение. Длина волны определяется по формуле:

λ=cT

где T = 2π√(LС). Для нахождения периода колебаний используем закон сохранения и превращения энергии. При незатухающих ко­лебаниях максимальная энергия магнитного поля равна максималь­ной энергии электрического поля и равна полной энергии электро­магнитных колебаний в контуре, т. е.

W_эл.м=W_маг.м=W;

отсюда

q_м²/2С=LI_м²/2 и LC=q _м² / I_м²  

Тогда Т =2π(q _м/ I_м)

Находим длину электромагнитной волны:

Зная индуктивность контура, находим емкость конденсатора:

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре равна сумме мгновенных значений энергии электрического и магнитного полей и, при отсутствии затухания колебаний, есть величина постоянная:

где

Следовательно,

Подставляя числовые значения, находим энергию электрического поля для данного момента времени:

Энергия электрического поля определяется по формуле W_эл=CU²/2. Получаем

откуда находим мгновенное зна­чение напряжения U на конденсаторе:

Ответ. Длина электромагнитной волны 38 м; емкость конденса­тора 2,0*10^-9 Ф; мгновенное значение энергии электрического поля 2,5*10^-7 Дж; мгновенное напряжение 5,0 В.

Пример

Определить длину электромагнитной волны в ваку­уме, если частота колебаний в ней 4,5*10¹¹ Гц. Чему равна скорость распространения и длина этой же волны в бензоле, если его отно­сительная диэлектрическая проницаемость 2,28? При решении ис­пользовать теорию Максвелла.

Дано: v=4,5*10¹¹ Гц — частота колебаний в волне, ε=2,28 — диэлектрическая проницаемость бензола, ε₀=8,85*10^-12 Ф/м — элек­трическая постоянная, μ₀=4π*10^-7 Гн/м — магнитная постоянная.

Найти: λ₀— длину электромагнитной волны в вакууме; υ — скорость распространения волны в бензоле; λ— длину этой же волны в бензоле.

Решение. Вычисляем скорость распространения электро­магнитных волн в вакууме:

Определяем длину волны в вакууме:

Находим скорость распространения электромагнитной волны в бензоле *) и вычисляем ее длину:

*) Прозрачными веществами для электромагнитных волн являются диэлект­рики, у которых магнитные свойства очень слабо зависят от их рода, поэтому их относительную магнитную проницаемость можно принять равной единице. По-скольку

Ответ. Длина волны электромагнитных волн в вакууме 0,67 мм; скорость распространения волны в бензоле 2*10⁸ м/с; длина этой же волны в бензоле 0,44 мм.