Говорят, что в науке взвешивают, измеряют и имеют дело с числами. При этом, очевидно, подразумевают, что в остальных областях своей деятельности люди заняты менее стоящими вещами. Однако при упоминании о десятичных числах людям на память приходят душные классы, где они изучали математику, их глаза начинают слипаться, а мозг — засыпать. Конечно, верно, что в физике имеют дело с числами и иногда с чрезвычайно точными измерениями. Люди поражаются, когда в результате неимоверно сложных вычислений, скажем количества магнетизма, содержащегося в электроне (и отнесенного к определенной стандартной величине μ0), получается значение μe0 =1,0011596…, в то время как измерения дают μe0= 1,001165±0,000011, где ± обозначает, что из-за ошибки измерений истинное значение μe0 лежит в пределах от 1,001176 до 1,001154. Или, когда вычисленная с помощью законов Ньютона величина периода обращения Меркурия отличается от экспериментальной на 3/4 с за 8 000 000 с1). Принято считать, что теория верна, если ее результаты находятся в точном численном согласии с наблюдениями. Между тем щедрое употребление чисел во всей физике скорее скрывает, чем выявляет их действительное значение.

Мы уже воздали должное Кеплеру, который так серьезно отнесся к небольшому расхождению (всего лишь на 8 минут дуги) между одной из траекторий Марса, рассчитанных им, и орбитой Марса, наблюденной Тихо Браге. Это расхождение в конце концов привело Кеплера к открытию своего знаменитого закона: планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Если бы Тихо Браге проводил свои измерения с еще большей точностью, то Кеплеру стало бы очевидно, что для точного описания орбиты Марса не годятся и эллипсы. Отказался бы он в этом случае от эллиптических орбит? Если да, то он отказался бы от одного из наиболее важных результатов в истории науки.

1) Эта ошибка в 3/4 с исправляется в общей теории относительности Эйнштейна.

То, что орбиты планет очень близки к эллипсам, является в данном случае не менее важным результатом, чем заключение, что орбиты имеют строго эллиптическую форму. Такая закономерность весьма примечательна; она может быть ключом к пониманию более строгих законов, или, чего нельзя исключить заранее, в ней содержится все, что можно сказать о вещах, и в таком случае мы приближаемся к пре­делу наших знаний. Априори у нас нет никакой гарантии, что все соотношения в реальном мире можно описать с неограниченной точностью.

Тем не менее всем известно, что математика широко применяется в физике. Она является языком физики, что хорошо разъяснил Галилей:

«Метод, который мы будем использовать в этом трактате, состоит в утверждении только таких вещей, которые следуют из сказанного ранее… Этому методу обучили меня мои учителя математики».

«Утверждение только таких вещей, которые следуют из сказанного ранее» — именно это приводит к системе, в которой каждый элемент имеет строго определенное значение и связан со всеми остальными элементами. Пифагор заметил, что связь между нотами, издаваемыми металлическими стержнями, и длинами этих стержней описывается отношениями между целыми числами. С тех пор физики ввели большое число разнообразных математических структур, с помощью которых они пытались описать мир реальных вещей.

В математике (в отличие от арифметики) занимаются изучением структур, полученных из соотношений между различными, строго определенными, но обычно абстрактными объектами. Математика сходна с игрой, в которой все правила заранее обусловлены и все ситуации вытекают как следствия. Например, в шахматах имеется поле деятельности (шахматная доска) и объекты, которым разрешены лишь определенные передвижения. Любая ситуация, которая может возникнуть на шахматной доске, является следствием исходной. В ма­тематической игре ученый начинает с заданных объектов и определен­ных правил, а затем исследует те ситуации и структуры, которые получаются как следствия этих правил. Сами правила математик может выбирать по собственному вкусу; они не обязаны чему-либо соот­ветствовать ни в реальном, ни в воображаемом мире, а должны лишь быть согласованными. Отличительная черта математика состоит, по мнению Бертрана Рассела, в том, «что он не знает, о чем говорит». Однако, если правила слишком просты, структура математической системы может оказаться тривиальной, подобно тому, как игра ста­новится неинтересной, если она проста (например, игра в крестики- нолики, в которой всегда выиграет тот, кто знает правильные ходы).

Когда говорят о математике, чаще всего имеют в виду арифметику, а иногда и геометрию. Дело в том, что математика началась именно с изучения структуры чисел и геометрии. Это вполне естественно; так как сам счет настолько примитивен, что люди, вероятно, овладели числами до того, как они научились говорить, т. е. стали людьми. Животные, которых проще обучить счету, чем научить понимать слова, добились в этом отношении большего прогресса, чем некоторые представители человечества. Австралийские аборигены (вотчанды) считают до двух: ко-оте-он (один), у-тай-ре (два), боолта (много) и боол-та-бат (очень много). Бразильские гуарани продвинулись дальше, считая: один, два, три, четыре, бесчисленное количество. Не способность ли считать впервые отделила нас от природы? «Честному человеку, — жалуется Торо, — с лихвой хватит для счета его десяти пальцев. В крайнем случае он может еще добавить пальцы на ногах, но не более. Я говорю: пусть ваши дела будут, как два или три, но не как сто или тысяча; считайте не до миллиона, а до полдюжины и старайтесь умещать все свои счета на ногте большого пальца».

Возможно, одна из причин, которые побудили человека научиться считать, была необходимость следить за количеством животных. Осталось ли к концу дня то же количество овец, которое было утром? Камешки (слово «calculus» — исчисление — обозначает по-латыни «маленький камень»), сложенные в кучку в начале дня, из которых каждый соответствовал одной овце, помогали установить, все ли овцы вернулись с пастбища вечером. Этот метод, будучи простым и эффективным, еще более примитивен, чем счет. Он предполагает только способность установить, что камешков ровно столько же, сколько овец, независимо от действительного количества камешков и овец. Успех этого метода, столь же простого, сколь и практичного, связан с фундаментальным свойством того мира, в котором мы живем. Ни камни, ни овцы не могут растворяться в воздухе. Люди интуитивно понимают, что этот метод не годится, если овцы будут подобны мыльным пузырям. В настоящее время мы могли бы назвать такую особенность мира законом сохранения овец. С некоторыми оговорками относительно антивещества можно считать, что аналогичные законы выполняются для нуклонов и других частиц. Если бы мы жили в мире, где нечего было бы считать, то арифметика, вероятно, не появилась бы раньше других наук; мы не обладали бы примитивными и интуитивными представлениями о числах, и их открытие оказалось бы скорее утомительным путешествием в сферу абстрактного мышления, чем просто детской забавой.

Геометрия возникла из необходимости устанавливать границы и площади земельных участков. (Само слово «геометрия» обозначает измерение земли; многие так называемые геометрические теоремы были впервые установлены эмпирически.) Легко сосчитать, сколько раз мерка укладывается вдоль границы поля. Конечно, возможность таких измерений обусловлена определенными предположениями о свойствах мира. Мерка во время измерений не должна укорачиваться, а поле должно сохранять свою форму. Хотя подобные предположения не всегда осознаются, следует напомнить, что мы можем проводить измерения лишь потому, что мы живем в мире, в котором мерки не укорачиваются, а поля сохраняют свою форму. В жидком мире, в котором отсутствовали бы твердые тела, подобные мерке, нам было бы гораздо сложнее проводить измерения, дающие определенные результаты.

Вероятно, подобные вопросы не очень волновали наших предков, как, впрочем, они не часто тревожат и нас. Мы предполагаем, что длина и форма тела сохраняются при его перемещениях и поворотах в пространстве. На первый взгляд, это предположение выглядит очевидным и даже не очень нужным; в действительности, однако, это не так: ведь можно представит себе мир, в котором оно не выполняется. Кроме того, мы, как правило, склонны считать (правда, это предположение здесь нам не требуется), что длина тела не зависит от того, движется ли оно или находится и покое. Позднее мы увидим, что от этого допущения придется отказаться.

1

Представим теперь, что у нас есть стержни, из которых можно соорудить треугольники, квадраты, параллельные линии и т. д.; допустим еще, что мы можем фиксировать траектории световых лучей для построения прямых линий любой длины и что мы в состоянии конструировать любые требуемые геометрические фигуры. Мы склонны полагать, что твердые тела существуют, а треугольник остается тем же самым треугольником, если мы переносим его в другое место пространства или если он движется. Можно сказать, что те свойства, которые мы приписываем миру, не являются для него обязательными, но то, что мы наблюдаем, скорее всего истинно. Если бы мы жили в мире без твердых тел, то в принципе мы могли бы выбрать и использовать те же самые предположения (хотя это было бы и не просто).

Рассмотрим следующий невероятный пример, который, правда, может представлять определенный интерес при изучении малых областей пространства порядка размеров ядра. Допустим, что существует мир, не обладающий тем отмеченным выше свойством жесткости, которое позволяет нам измерять расстояния, остающиеся всегда неизменными. Представим, что свойства этого мира сходны со свойствами резиновой оболочки, которая непрерывно расширяется, сужается, извивается, так что ее форма в любой момент абсолютно непредсказуема (фиг. 76). Предположим далее, что некие подобные нам существа населяют этот мир и некоторые из них решили от нечего делать разобраться в его природе.

Ясно, что для этих существ бесполезно придумывать линейки, прямые линии, треугольники или пытаться измерять расстояния в их особом мире, так как расстояние между любыми двумя точками будет непрерывно изменяться, и измерение его в какой-то момент времени не будет иметь ничего общего с измерением в любой другой момент. Для обитателей такого мира покажется бессмысленным, например, утверждение, что расстояние от города A до города B на 2 километра больше, чем от А до города C, так как любой из них, начав путешествие, может обнаружить, что в данный момент город А ближе к В, чем к С; поэтому в таком мире лучше вообще не говорить о каких-либо расстояниях.

В этом мире понятия расстояния, прямых линий и т. д. потеряли бы всякий смысл, введение этих понятий считалось бы дурным тоном для физика. Нельзя, однако, полагать, что в этом мире не существовало бы никакого порядка. Его обитатели могли бы установить некоторые понятия геометрии Евклида, например, понятия «внутри» и «снаружи». На фиг. 76 изображена точка, расположенная внутри криволинейного контура, и как бы ни искажался контур, точка всегда остается внутри него. Жители этого мира могли бы огораживать свои владения или держать преступников в тюрьме, хотя никто из них никогда бы не смог сказать, сколькими акрами он владеет или какой величины тюремная камера — больше или меньше, чем мир снаружи.

2

От арифметики и геометрии постепенно математики переключили свое внимание на исследование многих других вопросов. Выбирая тему для своих занятий, математик сталкивается с проблемой, которая возникает обычно перед художником, когда он обдумывает тему своей будущей картины. Как математик, так и художник, принимая решение, следуют, помимо прочих вещей, предыстории своей сферы творчества, вспоминают уже обследованные области, те из них, которые кажутся бесплодными, и те, что, может быть, приведут к новым и ценным результатам.

Не вступая в противоречие с традицией и с современной практикой, молено сказать, что главная задача теоретической физики заключается в том, чтобы установить систему (с ясно определенными и логически связанными между собой элементами, почти как в математической системе), какая-то часть которой соответствует исследуемой области реального мира. Конечная же цель нахождение той единственной системы, которая настолько содержательна, что описывает все явления в природе. Результатом явится то, что соотношения между материальными объектами в реальном мире окажутся отраженными в соотношениях между абстрактными объектами в мире математики. Каждая из обсуждаемых в дальнейшем теорий является попыткой именно такого рода.

Представим, что мы находимся на стадионе во время бейсбольного матча и абсолютно не знакомы с правилами этой игры. Мы наблюдаем на поле много сложных и порой нелепых ситуаций. Мы смогли бы заметить, что некоторая последовательность событий иногда повторяется. Бьющий ударяет по мячу, полевой игрок ловит его, и это происходит не так уж редко, но в зависимости от обстоятельств он бросает мяч в сторону участка поля, который мы могли бы назвать первым «домом».

Через некоторое время мы смогли бы уже мысленно представлять некую абстрактную команду, состоящую из правого, центрального и левого полевых игроков и т. д. (фиг.77). В любой реальной команде игроки, занимающие все эти места, сильно различаются по своим личным качествам. Однако несмотря на то, что игроки разных команд могут различаться по росту, по своим взглядам и личным достоинствам, несмотря на то, что стопперы «Гигантов» и «Ловкачей» — разные люди, все они, как одна команда, взаимодействуют во время игры по схеме, не зависящей от их индивидуальных характеров. В этом смысле любая реальная (т. е. существующая) команда является реализацией той абстрактной команды, которую мы себе представили и изобразили здесь на рисунке. Если наблюдать за игрой в течение длительного времени, то можно отгадать все правила игры. Однако в жизненной игре нет написанного где-то свода правил, с которым мы можем сравнивать наши догадки. Для проверки наших построений существует только один критерий — их соответствие нашему опыту.

3

На первый взгляд может показаться, что сама проблема теоретической физики — построение математической системы, хотя бы частично отражающей явления природы, — будет не менее сложной и не более понятной, чем сам мир, так как число правил, управляющих этой системой, окажется не меньше, чем число реальных событий. Если бы это было так, то заниматься наукой не имело бы смысла. Оказывается, однако, что мы все-таки можем найти математические системы, описывающие явления природы, причем такие системы, которые содержат лишь небольшое число простых правил. В этом проявляется одно из наиболее замечательных свойств нашего мира, предугадать которое заранее вряд ли было возможно.

При желании мы можем сказать, что те простые правила, в соответствии с которыми должны протекать, как можно думать, все явления на свете, сходны по духу со следующей вездесущей идеей Платона, означавшей для него то же, что числа для Пифагора: за событиями реального мира скрываются определенные закономерности. Замечательным примером подобной математической системы является система, предложенная Евклидом, которая упорядочила наши представления о пространстве.