Впервые релятивистское волновое уравнение предложил в 1928 г. Поль Дирак. Это уравнение, успех которого частично объяснялся его простой интерпретацией, открыло путь к овладению сложной по форме и богатой по содержанию релятивистской квантовой теорией. Пытаясь объединить два важнейших принципа двадцатого столетия, Дирак обратился к проблеме свободного электрона, т. е. электрона, который движется в пустом пространстве в отсутствие сил. В теории Ньютона такая частица есть тело с зарядом — e и массой m, которое, как это стало ясно в конце двадцатых годов, характеризуется еще спином и собственным магнитным моментом.

1

В отсутствие внешних сил такая ньютоновская частица движется по инерции (с постоянной скоростью). Чтобы полностью определить состояние тела, необходимо в заданный момент времени (скажем, t0) задать его скорость, положение и направление спина (фиг. 217). Энергия тела определяется по формуле:

E = p2/2m.

Направления спина и магнитного момента частицы произвольны и не зависят от его положения в пространстве и во времени. Поэтому любому состоянию электрона в пространстве и во времени соответствует бесчисленное множество внутренних состояний частицы (под внутренними подразумеваются состояния, которые не зависят от пространственных к временных свойств системы), связанных с произвольностью направления спина.

Состояние электрона Шредингера (не имеющего спина) считается полностью определенным, если в заданный момент времени (скажем, t0) известна его волновая функция. Так, в рассмотренном ранее случае одномерного сосуда волновая функция характеризуется одним квантовым числом и является волной де Бройля (фиг. 218) с длиной волны:

2

Энергия электрона равна:

3

В отличие от ньютоновского электрона, который характеризуется бесконечным множеством внутренних состояний, электрон Шредингера с заданной волной де Бройля при наличии спина имеет только два состояния, как это следует из квантового условия, которому подчиняется угловой момент частицы.

4

Электрон Шредингера, обладающий спином, характеризуется волной де Бройля с длиной волны λ и направлением своего спина (фиг. 219). Электрон имеет два внутренних состояния, которым отвечают два возможных направления спина. В отсутствие магнитного поля эти состояния вырождены (их энергии одинаковы). Таким образом, введение спина влечет за собой удвоение числа возможных решений уравнения Шредингера. Без учета спина решением уравнения Шредингера является определенная волновая функция положения и времени:

ψ (x, y, x; t).

При наличии же спина таких решений два — две волновые функции с одинаковыми пространственно-временными свойствами, но соответствующие двум противоположным направлениям спина:

ψ (x, y, x; t) и ψ (x, y, x; t).

(Понятие спина было впервые введено именно для объяснения наблюдаемого удвоения некоторых спектральных линий, которое свидетельствовало о том, что атом водорода обладает вдвое большим числом уровней, чем без учета спина.) Наиболее важное следствие из существования спина состоит в удвоении числа уровней. Благодаря этому два электрона могут занимать одно и тоже место в пространстве, не нарушая принципа запрета, если их спины направлены в противоположные стороны. При наличии магнитного поля два спиновых состояния обладают различными значениями энергии, которая зависит от взаимной ориентации собственного магнитного момента электрона и силовых линий внешнего магнитного поля.

Используя аналогию с уравнением Шредингера, Дирак попытался написать волновое уравнение для электрона, которое было бы согласовано с принципом относительности. Потребовав, чтобы решениями этого уравнения были волны де Бройля, подчиняющиеся вероятностной интерпретации, и чтобы энергия и импульс электрона были связаны релятивистским соотношением:

E2 = c2p2 + m2c4, (47.3)

а не соотношением:

E = p2/2m, (47.4)

которое выполняется для решения уравнения Шредингера, Дирак установил, что электрон должен обладать четырьмя внутренними состояниями. Таким образом, Дирак обнаружил учетверение всех уровней:

ψ1 (x, y, x; t); ψ2 (x, y, x; t); ψ3 (x, y, x; t); ψ4 (x, y, x; t).

тогда как при введении спина в уравнение Шредингера число уровней лишь удваивалось (фиг. 220).

Дираку удалось интерпретировать два из этих внутренних состояний как состояния электрона, обладающего спином, что само по себе представляло большое достижение. В отличие от нерелятивистской теории Шредингера, в которую спин вводился извне для объяснения наблюдаемого удвоения некоторых спектральных линий, в теории Дирака спин появлялся как следствие согласования волнового уравнения с принципом относительности.

5

Наличие спина вытекало как следствие исходных постулатов квантовой теории и теории относительности. Релятивистский электрон обязательно обладает спином, причем спин в теории Дирака оказался равным 1/2. Кроме того, величина собственного магнитного момента, связанного со спином, совпадала с наблюдениями. Так впервые удалось объяснить внутреннее свойство частицы — свойство, которое вытекало из уравнения, правильно описывающего ее пространственно-временные свойства.

6

Как ни странно, появление двух дополнительных решений уравнения Дирака объясняется довольно просто (фиг. 221). Так как в релятивистской теории энергии связана с импульсом по формуле:

E2 = c2p2 + m2c4, (47.6)

каждому значению импульса соответствуют два значения энергии. (Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, то получатся два решения, так как квадратный корень имеет два значения.) В данном случае решения найти просто:

7

Верхнее решение соответствует положительной энергии, а нижнее — отрицательной. Если импульс частицы равен нулю, то:

8

В теории Дирака имеются два таких решения для каждого направления спина. Таким образом, каждому пространственному состоянию системы соответствуют 2×2=4 внутренних состояния, найденные Дираком.

Следует отметить, что в релятивистской классической механике тоже имеются решения, соответствующие отрицательной энергии. Однако там эти решения не представляют никакого интереса и отбрасываются. Можно просто считать, что в мире, в котором мы живем, нет частиц с отрицательной энергией; по сути дела, решения с отрицательной энергией можно последовательно и безболезненно исключить из теории. Между тем в квантовой теории, как вскоре понял Дирак, этого делать нельзя. Решения, отвечающие отрицательной энергии, должны были бы иметь физические проявления; последовательно исключить их из теории не удавалось. Если нам доставляет радость то, что спин и магнитный момент электрона вытекают из релятивистского уравнения, то мы обязаны учитывать и эти решения. Однако, если бы электрон мог действительно существовать в состоянии с отрицательной энергией, он вел бы себя чрезвычайно странно. Вместо того чтобы замедляться и в конце концов останавливаться в результате столкновений с другими частицами, такой электрон ускорялся бы все больше и больше, пока его скорость не стала бы равной скорости света… Из анализа релятивистских решений стало ясно, что такие свойства не только никогда не наблюдались, но и вряд ли когда-нибудь будут обнаружены. Исходя из этого, Дирак выдвинул свое знаменитое предположение.